一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于
A． B． C． D．
2.“ ”是“直线 与圆 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图．若输入 ，则输出 的值是
A． B．
C． D．
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 ，
点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为 ，则
此双曲线的方程是
A． B．
C． D．
5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，
若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种[
6.已知三棱锥的底面是边长 为 的正三角形，其正视图与俯视图如图所
示，则其侧视 图的面积为
A． B．
C． D．
7.设集合 ，集合 .若 中恰含有一个整数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
8. 在棱长为1的正方体 中，点 ， 分别是线段 ， （不包括端点）上的动点，且线段 平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，则 的值为 .
10. 如图， ， 是半径为 的圆 的两条弦，它们相交于 的中点 .
若 ， ，则 = ， （用 表示）.
11.若关于 ， 的不等式组 （ 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 .
12. 在极坐标系中，过圆 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．
13.在直角三角形 中， ， ，点 是斜边 上的一个三等分点，则 ．
14. 将整数 填入如图所示的 行 列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数 在 上的最小值.
16. （本小题满分14分）
在长方体 中， ，点 在棱 上，且 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）在棱 上是否存在点 ，使 ∥平面 ？
若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求棱 的
长．
17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别 分组 频数 频率
第1组 [50，60） 8 0.16
第2组 [60，70） a ▓
第3组 [70，80） 20 0.40
第4组 [80，90） ▓ 0.08
第5组 [90，100] 2 b
合计 ▓ ▓
（Ⅰ）写出 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设 表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求 的分布列及其数学期望.
18. （本小题满分13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）设函数 ．若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
19.（本小题满分14分）
已知点 是椭圆 的左顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，与 轴相交于点 .且当 时，△ 的面积为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，试判断以 为直径的圆是否经过点 ？并请说明理由.
20. （本小题满分13分）
将正整数 （ ）任意排成 行 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数 （ ）的比值 ，称 这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当 时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若 表示某个 行 列数表中第 行第 列的数（ ， ），且满足 请分别写出 时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数 排成的 行 列的任意数表，记其“特征值”为 ，求证： .
编辑者：天津家教（天津家教网)
