一．选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设集合 A 1, 0 ,1, 2， | 1 2 B x y x ，
则右图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
A. 1 B. 0 C. 1，0 D. 1，0，1
2.若 为第二象限角，则复数z (sin cos ) (tan 2017) i（i为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A． f x e g x x x ( ) , ( ) ln B．
0
3 3
( ) , g(x) x
x
x
f x
C． g x x
x
x
f x , ( ) tan
1 sin 2
1 cos 2
( )
D． ( ) lg( 1) lg( 1) , ( ) lg( 1) 2 f x x x g x x
4.下列有关命题的说法正确的是 （ ）
A．命题“若1 2 x ，则x 1”的否命题为：“若 1 2 x ，则x 1”；
B．“m1”是“直线x my 0和直线x my 0互相垂直”的充要条件；
C．命题“xR，使得 1 0 2 x x ”的否定是：“xR，均有 1 0 2 x x ”；
D．命题“已知x, y为一个三角形的两内角，若x y，则sin x sin y”的逆命题是真命题.
5.函数 f (x) ln x sin x ( x 且x 0)的图像大致是 （ ）
A. B. C. D.
6.已知函数 f (x) 2sin(2x )( 0)，将 f (x)的图像向左平移
3
个单位长度后所得的函数图像
过点 (0 ,1)，则函数g(x) cos(2x ) （ ）
A．在区间( , )
6 3
上单调递减 B．在区间( , )
6 3
上单调递增
C．在区间( , )
6 3
上有最大值 D．在区间( , )
6 3
上有最小值
7.若
2 ( 1)
sin sin sin sin ( *)
5 5 5 5 n
n n
S n N
，则1 2 2018 S , S , , S 中值为0的有（）个
A．200 B．201 C．402 D．403
8．若函数
1
f (x) x x 2
， x g(x) x e ，h(x) x ln x 的零点分别为
1 x ，
2 x ， 3 x ，则（ ）
A． 2 3 1 x x x B． 2 1 3 x x x C． 1 2 3 x x x D． 3 1 2 x x x
9.设命题 p :若定义域为R 的函数 f (x)不是偶函数，则xR， f (x) f (x) .
命题q : f (x) x x 在（，0）上是减函数,在（0，）上是增函数.则下列判断错．误．的是( )
A． p q为真 B． p q为假 C． p 为假 D. q为真
10.已知定义在R 上的函数 y f x满足条件
3
2
f x f x
，且函数
3
4
y f x
为奇函
数，下列有关命题的说法错．误．的是 （ ）
A．函数 f x是周期函数； B．函数 f x为R 上的偶函数；
C．函数 f x为R 上的单调函数； D． f x的图象关于点
3
,0
4
对称．
11. 在直角三角形ABC 中， 0 BCA 90 ，CACB 1，P 线段 AB 上任意一点，且AP AB，
若CP• AB PA•PB，则实数 的取值范围为 ( )[
A．
1
,1
2
B．
2 2
,1
2
C．
1 1 2
,
2 2
D．
1 2 1 2
,
2 2
12.已知函数2 f (x) (x 4x)sin(x 2) x 1在[1, 5]上的最大值为M ，最小值为m，
则 M m （ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数2 f (x) ax bx 1是定义在[1 a , 2a]上的偶函数，则 f (2a b) _________.
14．已知正方形的四个顶点 A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)、D(1,1)分别在
曲线2 y x 和 2 y 1 x 1上，如图所示，若将一个质点随机投入
正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.
15．若函数
2, 0
2
lg , 0
x
kx x
f x x
x x
有且只有2 个不同零点，则实数k 的取值范围是_____.
16．在 ABC三角形，角 A , B , C的对边分别为a , b , c，若sinC sin(B A) sin 2A,
3
sin
3
C ，且a b 3 6 ,则ABC的面积为___________.
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算部骤.第17-21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必作题：共60 分
17．（本小题满分12 分）
已知函数( ) sin(3 ) cos(3 ) sin 3 ( )
3 6
f x x x m x m R
，
17
( ) 1
18
f
.
（1）求m的值；
（2）在 ABC三角形，角 A , B , C的对边分别为a , b , c，若 ( ) 3
3
B
f ，
且2 2 2 a 2c b ，求tan A.
18．（本小题满分12 分）
一个口袋中装有n个红球(n 5且n N)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不
同则为中奖.
(1)用n 表示一次摸奖中奖的概率n p ；
(2)若n 5，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有 X 次中奖,求 X 的数学期望EX ；
(3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P ,当n 取何值时， P 最大？
19．（本小题满分12 分）
如图所示的几何体中， ABC A1B1C1为三棱柱，且 1 AA 平面ABC，
四边形 ABCD为平行四边形，AD 2CD， 0 ADC 60 .
（1）求证： 1 1 C D/ /平面ABC；
（2）若1 AA AC，求证： 1 1 1 AC 平面A BCD；
（3）若CD 2，二面角 1 AC DC的余弦值为若
5
5
，求三棱锥1 1 C ACD的体积．
20．（本小题满分12 分）
已知椭圆C ： 1 2
2
2
2
b
y
a
x
（a b 0）的左、右焦点分别为 1 2 F 、F ，过点 2 F 作直线l 与
椭圆C交于M、N两点.
（1）已知M(0, 3)，椭圆C的离心率为
1
2
，直线l交直线x 4于点P ，
求1 FMN 的周长及 1 FMP的面积；
（2）当2 2 a b 4且点M 在第一象限时，直线l交 y 轴于点Q， 1 1 FM FQ，
证明：点M 在定直线上.
21．（本小题满分12 分）
已知函数 f (x) e , g(x) mx n . x
（1）设h(x) f (x) g(x) .
①若函数h(x)在x 0处的切线过点(1 , 0)，求m n的值；
②当n 0时，若函数h(x)在(1, )上没有零点，求m的取值范围.
（2）设函数
( ) ( )
1
( )
g x
nx
f x
r x ，且n 4m (m 0)，求证：当x 0时，r(x) 1．
(二)选作题：共10 分[
请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B 铅笔在
答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是
y t
x t
2
1
1
2
3
3
（t 为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点， x
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程式为)
6
4cos(
.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若P(x, y)是直线l与曲线面 )
6
4cos(
的公共点，求 3x y的取值范围.
23．（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x 3| | x 1| .
（1）解不等式 f (x) 4；
（2）若存在实数0 x ，对任意实数t不等式 f (x ) mt t m 0 恒成立，求实数m的取值范围．
珠海市第二中学2017－2018 学年度第一学期期中考试
高三年级 （理科数学）试题参考答案
一、 选择题：（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
二、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13. 5 14.
8 3
24
15. k 0 16.
3 2
2
三、解答题（本题共70 分）说明：本答案每题仅提供了一种解法参考，其它解法对应给分.
17．【解】（1）由题设知：
17 19 17 1
1 ( ) sin cos3 sin 1
18 6 6 2 2
m
f m
，
∴m1……………………………………………………………………4分
（2）由题设及（1）知： 3 ( ) sin( ) cos( ) sin sin 3 cos
3 3 6
B
f B B B B B
；
∴ 3
sin( )
3 2
B
，又
4
3 3 3
B
， 得
3
B
；……………………………7 分
∴ 2 2 2 b a c ac，又 2 2 2 a 2c b ， 得a 3c , b 7c；………………………9分
∴
1
cos
2 7
A ，
3 3
sin
2 7
A ；…………………………………………………11 分
∴tan A 3 3…………………………………………………………………………12 分
18．【解】（1）由题设知：
1 1
5
2
5
10
( 5)( 4)
n
n
n
C C n
p
C n n
…………………………………………3 分
（2）由（1）及题设知：5 5
5
, ~ (3 , )
9
p X B p ∴
5
3
EX ………6 分
（3）由（1）及题设知： 1 2 3 2
3 (1 ) 3( 2 ) (0 1) n n n n n n P C p p p p p p
∴ 2 ' 3(3 4 1) 3(3 1)( 1) n n n n P p p p p
即当
1
(0, )
3 n p 时，P' 0，其为单增区间；当
1
( ,1)
3 n p 时，P' 0 ，其为单减区间.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D A C C A A C B D
∴当
1
3 n p ，即
10 1
( 5)( 4) 3
n
n n
，得n 20时，P 最大. …………………………12分
19.（1）【证明】连1 BC 交1 BC 于M 点，连BD交AC 于N 点，则1 MN 平面ABC .
由平几知：M 为1 BC 的中点， N 为BD的中点，
即MN 为1 BC D的中位线. 1 MN / /C D .
又1 1 1 1 C D 平面ABC , C D/ /平面ABC .……………3 分
（2）【证明】1 1 1 AA 平面ABCD, AC 平面ABCD,AA AC , AA CD.
又1 1 1 1 1 AA AC, 知AAC C为正方形,AC AC .
在ACD中由余弦定理知： 2 2 2 AC 3CD得 AD AC CD , CD AC .
又1 1 1 AC AA A, CD 平面A ACC .
又1 1 1 1 AC 平面A ACC , CD AC .
又1 1 1 1 AC CD C, AC 平面ABCD.……………………7分
（3）【解】作1 CH C D交 1 C D于H ，连AG，由（2）知： 1 AC 平面CC D.
1 1 1 AC C D,C D 平面ACH , AHC为二面角AC DC的平面角. ……9 分
5
cos , tan 2
5
AC
AHC AHC
CH
；由CD 2知： AC 2 3得CH 3；
在1 C CD中由平几知：
1 CC 2 3 ，于是得 1 1 AAC C 为正方形.
由（2）知：
1 1 1 1
1 1
( 2 3 2 3) 2 4
3 2 C ACD D ACC V V . ………………………12 分
20．（1）【解】由题设知： 2 2
3
1
2
b
a b
a
得a 2，∴椭圆C的方程为
2 2
1
4 3
x y
……2 分
∴ 1 FMN 的周长 1 1 1 2 2 1 FM MN NF FM MF F N NF 4a 8 ; ……………3 分
由1 2 F (1,0) , F (1,0)知直线l的方程为 1
3
y
x ，得P(4,3 3)，
∴F1MP的面积 1 2
1
3 ( 3 3) 4 3
2
F F .………………………………………6分（2）
【证明】设2 2
0 M(x, y)且x, y 0 , Q(0, y ) , c a b ,由题设知： 1 2 F (c,0) , F (c,0) .
由2 M,F ,Ql知
2 2 F M / /F Q，
2 2 0 F M (x c , y) , FQ (c , y )，则有 0y (x c) cy；
由1 1 FM FQ知
1 1 FM FQ，
1 1 0 FM (x c , y) , FQ (c , y )，则有 0 c(x c) y y 0；
∴两式联立消去0 y 点得M(x, y)满足 2 (x c)(x c) y ，即 2 2 2 x y c ； ……………9分
又点M 在椭圆C 上，即有1 2
2
2
2
b
y
a
x
， 即2 2 2 2 2 2 b x a y a b ，
∴两式联立得
4 4
2 2
2 2 2 2 ,
a b
x y
a b a b
； 又2 2 a b 4，即
2 2
,
2 2
a b
x y ………11 分
∴点M(x, y)满足
2 2
2
a b
x y
，即点M 在定直线x y 2上. ……………………12分
21．【解】（1）①由题设知：h x f x g x e m h m h n x '( ) '( ) '( ) , '(0) 1 , (0) 1 ，
得 h m
n
' (0) 1
0 1
1 0
，即m n 2 ．…………………………3分[
②由题设知：h x e m x '( ) 是增函数，且 h e m h e m 1 1 '( 1) ， ( 1) ；
（ⅰ）当 h' (1) 0即 1 m e 时，x(1,)恒有h' (x) 0知h(x)是增函数，此时
只需 h(1) 0即 1 m e ，得 1 1 e m e . …………………………5分
（ⅱ）当 h' (1) 0即 1 m e 时，有h'(ln m) 0知：
x(1, ln m)时h' (x) 0，h(x)递减，x(ln m , )时有h' (x) 0，h(x)递增；
由h(0) 1 0知此时
需 ( ) (ln ) ln 0 min h x h m mm m 即 m e，得 e m e 1 .………………7 分
由上述知： e m e 1 ………………………………………8 分
（2）由题设知：
4
4
( )
x
x
r x e x ，得“x 0时r(x) 1”等价“x 0时 1
4
(4 3 )
x
x ex
”
设
4
(4 3 )
( )
x
x e
u x
x
，当x 0时有 0
( 4)
3 8
'( ) 2
2
x
x x
u x ，即u(x) 在x 0时为减函数.
得u(x) u(0) 1，即 1
4
(4 3 )
( )
x
x e
u x
x
．
也即x e
x
x
x
x
4
4 3
4
4
1 ，故命题得证明. …………………………12 分
22．【解】（1）由题设知： 2 3 cos 2sin ，得 （2 3 cos 2sin） 2
∴曲线C的直角坐标方程为x y 2 3x 2y 2 2 ，
即 3 1 4 2 2 （x ）（y ） ．……………………………………5 分
（2）由（1）题设知：曲线C是以（ 3，1）为圆心，2为半径的圆. 则直线l过圆心 .
又由点P(x, y)在直线l与曲线面上知： , [ 2 , 2]
2
1
1
2
3
x 3 t，y t t .
∴ 3x y 4 t[2 , 6]．……………………………………10 分
23．【解】（1）∵ f (x) | 2x 3| | x 1| .
3
3 2
2
3
( ) 4 1
2
3 2 1
x x
f x x x
x x
………………2 分
3 3
1 1
( ) 4 2 2
3 2 4
3 2 4 4 4
x x x
f x
x
x x
或 或 x 2或0 x 1或x 1……4 分
综上，不等式 f (x) 4的解集为：,2 (0,)……………………5 分
（Ⅱ）由（1）题设知： min
5
( ( ))
2
f x ……………………………………………6 分
又由 mt t m (mt)(t m) 2m 知： f (x) 2m min ，即 m
4
5
.………………9 分
∴实数m的取值范围是（， ）（ ，）
4
5
4
5
．……………………10 分
编辑者：天津家教（天津家教网)
