一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．已知2lg（x－2y）=lgx+lgy,则 的值为 （ ）
A．1 B．4 C．1或4 D． 或4
2．函数y=log （x2－6x+17）的值域是 （ ）
A．R B．［8，+ C．（－∞,－ D．［－3,+∞］
3．若a>1,b>1,且lg（a+b）=lga+lgb,则lg（a－1）+lg（b－1）的值等于 （ ）
A．0 B．lg2 C．1 D．－1
4．设x∈R,若a<lg（|x－3|+|x+7|）恒成立，则 （ ）
A．a≥1
B．a>1
C．0<a≤1
D．a<1
5．设有两个命题①关于x的不等式x2+2ax+4>0对于一切x∈R恒成立，②函数f（x）=－（5
－2a）x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是 （ ）
A．（－2,2） B．（－∞,2） C．（－∞,－2） D．（－∞,－2）
6．设函数f（x）=f（ ）lgx+1,则f（10）值为 （ ）
A．1 B．－1 C．10 D．
7．已知函数y=f（x）的反函数为f－1（x）=2x+1,则f（1）等于 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．4
8．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0,则a的取值范围是
（ ）
A．（0, ） B．（0, C．（ ,+∞） D．（0,+∞）
9．已知函数y=f（2x）定义域为［1，2］,则y=f（log2x）的定义域为 （ ）
A．［1，2］ B．［4，16］ C．［０，1］ D．（－∞,0）
10．已知f（x）=x2－bx+c,且f（0）=3,f（1+x）=f（1－x）,则有 （ ）
A．f（bx）≥f（cx） B．f（bx）≤f（cx）
C．f（bx）<f（cx） D．f（bx）、f（cx）大小不确定
11．将函数y=2x的图象（ ），再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象．（ ） （ ）
A．先向左平移一个单位 B．先向右平移一个单位
C．先向上平移一个单位 D．先向下平移一个单位
12．今有一组实验数据如下：
t 1．99 3．0 4．0 5．1 6．12
v 1．5 4．04 7．5 12 18．01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
（ ）
A．v=log2t B．v=log t C．v= D．v=2t－2
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
13．若不等式3 >（ ）x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______．
14．f（x）= ，则f（x）值域为____ __．
15．某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为2．8元、销售价为3．4元，全年分若干次进货、每次进货均为x包，已知每次进货运输费为62．5元，全年保管费为1．5x元，为使利润最大，则x=____ __．
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药
物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时
间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为
（ 为常数），如图所示．
据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共74分）。
17．（12分）函数f（x）= （ax+a－x）（a>0且a≠1）的图象经过点（2， ）
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在［0,+∞ 上是增函数．
18．（12分）已知函数f（x）= +lg ．
（1）求此函数的定义域，并判断函数单调性．
（2）解关于x的不等式f［x（x－ ）］< ．
19．（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f（t）．
（1）写出函数y=f（t）的定义域和值域．
（2）在所给坐标系中画出y=f（t）（0≤t<6）的图象．
（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z）时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）？
20．（12分）已知f（x）=lg（x2－2x+m），其中m∈R为常数
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）的图象关于直线x=1对称．
21．（12分）某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图曲线
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；
（2）据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？
22．（14分）已知函数f（x）= ．
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明．
（2）求f（x）的反函数．
参考答案
一、选择题
1．B解析： 原命题等价 x=4y，∴ =4
2．C解析： y=log ［（x－3）2+8］≤log 8=－3
3．A解析：由lg（a+b）=lga+lgb a+b=ab，即（a－1）（b－1）=1,∴lg（a－1）+lg（b－1）
=0
4．D解析： 令t=|x－3|+|x+7|,∴x∈R,∴tmin=10，y=lgt≥lg10=1,故a<1
5．D解析： ①等价于Δ=（2a）2－16<0 －2<a<2
②等价于5－2a>1 a<2
①②有且只有一个为真，∴a∈（－∞,－2）
6．A解析： ∵f（x）=f（ ）lgx+1,∴f（ ）=f（x）lg +1，∴f（10）=f（ ）lg10+1,
且f（ ）=f（10）lg +1，解得f（10）=1．
7．C解析： 令f（1）=x,则f－1（x）=1,令2x+1=1,∴x=－1
8．A解析：f（x）=log2a（x+1）>0=log2a1，∵x∈（－1,0）,∴x+1<1,∴0<2a<1,即0<a<
9．B解析：由1≤x≤2 2≤2x≤4,∴y=f（x）定义域为［2，4］，由2≤log2x≤4,得4≤x≤
16
10．B 解析： 由f（0）=3 c=3,由f（1+x）=f（1－x）知对称轴为x=1,∴b=2
①x=0,2x=3x,∴f（2x）=f（3x）
②x>0,1<2x<3x,∴f（2x）<f（3x）
③x<0,1>2x>3x,∴f（2x）<f（3x）
11．D解析：y=2x的图象向下平移一个单位得到y=2x－1的图象，而y=2x－1的反函数为y=log2
（x+1）．
12．C解析： 五组数据，取近似值1．99≈2;4．04≈4;5．1≈5,18．01≈18，代入验证可知
v= 最接近．
二、填空题
13． － <a< 解析: 由题意：x2－2ax>－x－1恒成立，即x2－（2a－1）x+1>0恒成立
故Δ=（2a－1）2－4<0 － <a<
14．（－2,－1）解析： x∈（－∞,1）时,x－1≤0,0<3x－1≤1,∴－2<f（x）≤－1，x∈（1,+∞）时，1－x<0,0<31－x<1,∴－2<f（x）<－1，∴f（x）值域为（－2,－1）
15．500解析：设获得的利润为y元，则y=（3．4－2．8）×6000－ ×62．5－1．5x=－1．5（x+ ）+3600，可证明函数在（0，500）上递增，在［500,+∞）上递减，因此当x=500时，函数取得最大值．
16．（I） （II） 解析：（I）由题意和图示，当 时，可设 （ 为待定系数），由于点 在直线上， ；同理，当 时，可得
（II）由题意可得 ，即得 或 或 ，由题意至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
17．解: （1）∵f（x）的图象过点（2， ）
∴ （a2+a－2）= ,即9a4－82a2+9=0,解得a2=9或a2=
∵a>0且a≠1，∴a=3或a=
当a=3时，f（x）= （3x+3－x）
当a= 时，f（x）= ［（ ）x+（ ）－x］= （3x+3－x）
∴所求解析式为f（x）= （3x+3－x）
（2）设x1,x2∈［0,+∞］,且x1<x2,则
f（x1）－f（x2）=
=
=
由0≤x1<x2, <0且3 >1∴f（x1）－f（x2）<0即f（x1）<f（x2）
因此f（x）在［0，+∞ 上是增函数
18．解: （1）f（x）= +lg = +lg（－1+ ）
要使f（x）有意义，即 >0,∴f（x）的定义域为－1<x<1
设－1<x1<x2<1,则f（x1）－f（x2）=lg（－1+ ）－lg（－1+ ）
∵－1<x1<x2<1,∴0<x1+1<x2+1
∴－1+ >－1+
∴f（x1）>f（x2）,即f（x）在（－1,1）上为减函数
（2）∵f（0）= ,∴f［x（x－ ）］< =f（0）
由（1）知f（x）在（－1,1）上为奇函数
∴ ,解得：
即不等式解集为（ ,0）∪（ , ）
19．解: （1）y=f（t）定义域为t∈［0,+∞］,
值域为{y|y=2n,n∈N*}
（2）0≤t<6时，为一分段函数
y=
图象如图
（3）n为偶数时，y=2
n为奇数时，y=2
∴y=
20．解: （1）由x2－2x+m＞0得（x－1）2＞1－m
当1－m＜0,即m＞1时，x∈R
当1－m≥0,即m≤1时，x＜1－ 或x＞1+ ,
故当m＞1时，f（x）定义域为R．
当m≤1时f（x）定义域为（－∞,1－ ）∪（1+ ,+∞）
（2）设A（x0，f（x0））为f（x）图象上任意一点，则A点关于直线x=1的对称点为A′（2－x0,f（x0））
∵f（2－x0）=lg［（2－x0）2－2（2－x0）+m］=lg（x02－2x0+m）=f（x0）
∴A′点也在f（ x）图象上
由A点的任意性知f（x）的图象关于直线x=1对称．
21．解: （1）依题意，得y=
（2）设第二次服药时，在第一次服药后t1小时
则－ t1+ =4,t1=3
因而第二次服药应在10:00
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有－ t2+ － （t2－3）+ =4
解得：t2=7（小时）
设第四次服药在第一次服药后t3小时（t3>8），则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和
－ （t3－3）+ +［－ （t3－7）+ ］=4
解得t3=10．5小时
故第四次服药应在17:30．
22．解: （1）∵x∈R时,2x+1＞0恒成立．
∴f（x）的定义域是R．
f（x）在R上是增函数，证明如下：
设x1,x2∈R,且x1＜x2,则0＜2x1＜2x2
∴f（x1）－f（x2）=
=
= ．
∵2x1－2x2＜0,2x1+1＞0,2x2+1＞0
∴f（x1）－f（x2）＜0,即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是增函数．
（2）由y= ,解得2x=
∵2x＞0,∴ ＞0,即 －1＜y＜1
∴x=log2 （－1＜y＜1＝
∴f（x）的反函数为f－1（x）=log2 （－1＜x＜1）．
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编辑者：天津家教（天津家教网)
