一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项吕,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 , , ,则集合 是( )
A. B. C. D.
【解析】
,故选D
2. 下列函数中,在其定义域上为奇函数的是( )
A. B. C. D.
【解析】 A
对于B,定义域不对称,对于C,D, ,故选A.
3. 已知直线 ,则下列直线中,与 平行的是( )
A. B. C. D.
【解析】 A
4. 直线 的图象如图所示,则函数 在 上
A.为增函数 B.为减函数
C.为常数函数 D.单调性不确定
【解析】 B
由图可知 时, ∴
当 时, ∴
∴ 为减函数。
5. 下列命题正确的是( )
A.经过三点,有且仅有一个平面
B.经过一条直线和一个点,有且仅有一个平面
C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D.四边形确定一个平面
【解析】 C
对于A,须为不共线的三点。
对于B,点须不在直线上
对于D,四边形可为空间四边形
6. 在三棱锥 中, , 平面 , .若其主视图、俯视图如图所示,则其左视图的面积为( )
A. B.1
C. D.
【解析】 D
左视图如图
7. 已知平面 平面 ,下列命题
①平面 内的直线一定垂直于平面 内的直线
②平面 内的直线一定垂直于平面 的无数条直线
③平面 内的任一条直线必垂直于平面
④过任意一点作平面 和平面 交线的垂线,则此垂线必垂直于平面
其中正确的命题序号是( )
A.①② B.①③ C.② D.④
【解析】 A
对于①②,在 内作 垂直于 的交线,在 内平行于 的直线都垂直于 故②正确
对于③不正确,对于④此点需要在 内。
8. 在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥,则这个三棱锥体积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 B
在正方体 中,设三棱锥的底面为 .
在正方体的表面上,离三棱锥底面 最远的点,一定可以在正方体的顶点处取得.此时,三棱锥的体积最大。固定住这个点,以这个点为三棱锥底面的一个点,则三棱锥的顶点一定可以在正方体的顶点处取得,同理,三棱锥体积最大时,三个顶点必在正方体的顶点处取得.
故正方体8个顶点中四个顶点形成三棱锥的体积最大的那个即为所求.
由于三棱锥四个顶点不共面,故在面 和面 中,分别可能有三棱锥的 , , 个顶点,其中 和 是对称的.
故只需讨论 和 的情形.
若为 ,在底面,不妨取 顶点可为 ,三棱锥体积都为 ,
若为
则在底面可取 或 .
若为 ,顶面可取 , ,三棱锥体积 .
若为 ,则顶点可取 此时
故选B.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上.
9. 幂函数 的图象经过点 ,则 _____________.
【解析】
,∴ .∴ .∴
10.一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍,则该球半径为_____________.
【解析】 6
.∴
11.已知函数 ,若 是 的零点,则 的值为___________.
【解析】 1或
∴ .∴
∴ ∴ ∴ 或
12.二次函数 满足 , ,那么 _____________.
【解析】 设 ∴
∴ ∴
13.一个边长为 的正方形铁片,把图中所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器.则这个容器侧面积 表示成 的函数为______________.当 时,这个容器的容积为________ .
【解析】 ,
如图所示,白色的三角形的面积为 ,正四棱锥的侧面积为
如图所示, ,
,在直角三角形 中, ,
14.已知函数 ,其中 , ,
设集合 ,若 中的所有点围成的平面区域面积为 ,则 的最小值为__________.
【解析】
, 为 时的值域的长度 .
中的所有点围成的平面区域面积为
或 或
, 为奇函数.
当 时, , 单调递增。
由对称性画出草图
要使 的值域最小
当 时 的值域最小.
此
三、解答题:本大题共4小题,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分10分)
已知函数
⑴ 求函数 的定义域;
⑵ 判断函数 的奇偶性;
⑶ 求 的值.
【解析】 ⑴ ∴ ∴定义域为
⑵
∴ 为偶函数
⑶
16.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系 中,四边形 为平行四边形,其中 为坐标原点,且点 , .
⑴ 求线段 中点坐标;
⑵ 过点 作 垂直 于点 ,求直线 的方程;
⑶ 求四边形 的面积.
【解析】 ⑴ 设 中点为 .
∵四边形 为平行四边形
∴ 为 中点
∴ 点坐标为
⑵ ∵ 、 关于 对称
∴ 点坐标为
∴ 点坐标为
∴
∴直线 的直线方程为
∴ 。
⑶
∴ 。
17.(本小题满分12分)
如图,长方体 中, , ,点 为
的中点.
⑴ 求证:直线 平面 ;
⑵ 求证:平面 平面 ;
⑶ 求证:直线 平面 .
【解析】 ⑴ 设 与 交于 。
∴ 、 分别为 、 中点 ∴ ∴ 面 面
∴ 面 。
⑵ ∵ ∴ 面
而 面 ∴面 面
⑶ 由⑵知
∴
∴
∴ 面 。
18.(本小题满分10分)
函数 的定义域为 ,且 的值不恒为0,又对于任意的实数 , ,总有 成立.
⑴ 求 的值;
⑵ 求证: 对任意的 成立;
⑶ 求所有满足条件的函数 .
【解析】 ⑴ 令
∴ ∴
⑵ 令
∴
∴对于任意的
∴即证
⑶
令
∴
当 时恒成立,当 时有,
∴
∴
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